Problemas inversos en espacios de alta dimensión y técnicas de reducción de parámetros

Abstract

Los problemas inversos -problemas de identificación de parámetros- están omnipresentes en diferentes terrenos tecnológicos y pertenecen a la categoría de problemas enfermos o mal planteados. El mal planteamiento de los problemas inversos se debe principalmente al ruido de medida presente en los datos observados, el muestreo incompleto del espacio de datos, las hipótesis hechas en el modelo matemático, las no linealidades del funcional del problema directo y las aproximaciones numéricas. Tradicionalmente dicho mal planteamiento -mal condicionamiento- se ha tratado mediante el uso combinado de algoritmos de optimización local y técnicas de regularización. Recientemente el análisis de la incertidumbre ligada a la solución de los problemas inversos ha adquirido una gran importancia para la toma de decisiones y el análisis de riesgo de los métodos utilizados. Tradicionalmente el problema del análisis de la incertidumbre de un problema inverso ha sido abordado en un marco probabilista -bayesiano-. No obstante, en aplicaciones de carácter industrial, el análisis de incertidumbre está imposibilitado por la alta dimensión del espacio de modelos -cientos de miles o millones de parámetros- y el alto coste computacional necesario para realizar las predicciones de los datos observados -horas o incluso días-. Además las técnicas de análisis lineal sólo proporcionan en el caso de los problemas inversos no lineales un análisis de incertidumbre local, es decir, en el entorno de la solución adoptada, y es por lo tanto un problema abierto. En la primera parte de esta tesis se justifica la incertidumbre de un problema inverso -lineal y no lineal- por medio del análisis determinista de la topografía de la función objetivo. En primera aproximación, la topografía de la función objetivo en cualquier problema inverso en el entorno de la solución es la de un valle alargado en las direcciones del conjunto de vectores que generan el espacio nulo de la matriz Jacobiana del problema directo. En problemas inversos no lineales los valles permanecen pero pueden aparecer diferentes mínimos locales que coexisten con los valles alargados y que están relacionados con la aproximación de Gauss-Newton de la matriz Hessiana, el término de regularización o el ruido en los datos. En la segunda parte de la tesis se muestra la construcción de diferentes tipos de bases (a priori y a posteriori) de un espacio reducido del espacio de modelos, mediante el Análisis en Componentes Principales (PCA), la Descomposción de Valores Singulares (SVD), la Transformada de Coseno Discreta (DCT) y la Transformada de Ondículas Discreta (DWT). La utilización de estas bases reducidas y de los métodos de subespacio ayuda a regularizar el problema inverso y a encontrar un conjunto de soluciones equivalentes (análisis de incertidumbre) que ajustan los datos con una cierta tolerancia y que son compatibles con la información a priori. Se muestran distintas técnicas y aplicaciones en problemas de talla real.