A structural analysis and classification of multivalued fuzzy sets

Abstract

La teoría de conjuntos difusos, tal como la formuló originalmente L. A. Zadeh, es una generalización de la teoría de conjuntos en la que se sustituye la función característica de un conjunto, que asigna a los miembros el valor 1 y a los no miembros 0, por una función más general que asigna a los elementos valores en el intervalo unitario real [0, 1]. Esto hace posibles formas de pertenencia que no son totalmente verdaderas ni falsas, sino algo difuso, borroso o indeterminado situado en algún punto entre los dos valores ideales. El hecho de que estas magnitudes difusas de pertenencia sean de por sí números reales con un valor exacto, no difuso, ha motivado numerosas extensiones del concepto en las que se sustituyen estos números reales por otros objetos matemáticos más sofisticados. En esta memoria, se repasan los resultados más básicos de algunas de estas extensiones obteniéndose, además, resultados matemáticos nuevos que contribuyen a establecer conexiones entre estas teorías, así como con los conjuntos difusos normales de la teoría original. En particular, se investigan las propiedades de aquellas extensiones de conjuntos difusos en las que la pertenencia viene representada mediante una colección de valores reales posibles, tales como los multiconjuntos difusos y los conjuntos difusos basados en conjuntos, así como el caso menos estudiado de una variante de los multiconjuntos difusos para la que los valores de pertenencia son n-uplas ordenadas en lugar de multiconjuntos. A este tipo de generalizaciones se las designará como “conjuntos difusos multivaluados”. El planteamiento elegido para la búsqueda de conexiones entre estas teorías diversas se basará en establecer varios principios de extensión fundamentales que vinculan conceptos análogos entre diferentes espacios matemáticos. Estos principios de extensión permitirán construir un marco teórico dentro del cual las funciones definidas en el mundo de los conjuntos difusos normales puedan extenderse a espacios difusos más elaborados, recuperando así resultados conocidos en la literatura existente junto con nuevos resultados que juzgamos interesantes para una mejor comprensión de las relaciones existentes entre los diversos conjuntos difusos multivaluados. La última parte de la memoria está dedicada al estudio de funciones tales como distancias, disimilitudes y divergencias, que proporcionan una medida de cuán diferentes son dos conjuntos difusos, en cualquiera de sus formas. Los principios de extensión presentados en esta memoria conducen a definiciones de estos conceptos para los conjuntos difusos multivaluados, que se comparan con los existentes. La cuantificación de las diferencias entre conjuntos difusos es importante en muchos usos prácticos de los conjuntos difusos, por lo que se concluye nuestro estudio con algunos ejemplos de aplicaciones prácticas en los campos del reconocimiento de patrones y de la toma de decisiones, que abren vías de investigación futura para estas técnicas matemáticas.