Commutativity theorems in rings

Abstract

Una importante y activa línea de investigación en Algebra No-Conmutativa es la denominada como "Teoremas de Conmutatividad" cuyo objetivo final es encontrar condiciones que garanticen la conmutatividad de un anillo. La presente tesis doctoral se enmarca en este campo de trabajo y, concretamente, en el estudio de condiciones de conmutatividad que involucran varios tipos de generalizaciones de derivaciones. Se obtienen resultados para anillos primos y semiprimos. Se han estudiado varios tipos de generalizaciones de derivaciones y las consecuencias que tiene su existencia en relación con la conmutatividad del anillo en el que están definidas o bien en el hecho de que existan ideales centrales, cuando las condiciones impuestas sobre las derivaciones son más débiles. Así, por ejemplo, se han introducido las nociones de derivación generalizada reversa a izquierda y a derecha y se ha probado que la existencia de una aplicación de este tipo en un anillo semiprimo implica la existencia de un ideal central no trivial. Además, si el anillo es libre de 2-torsión, entonces las nociones de derivación generalizada reversa a izquierda, a derecha, derivación generalizada a izquierda y a derecha coinciden. Se han estudiado también aplicaciones sobre un anillo semiprimo que son derivaciones generalizadas a derecha sobre un ideal de Lie U. En este caso se ha probado, por ejemplo, que si (F, d) es una derivación generalizada a izquierda (resp. a derecha) y F^2 (U) = (0), entonces d(U)=F(U)=(0) y d(R), F(R)son subconjuntos del centralizador en R de U, C_R(U). Por otro lado, si (F, d) y (G, g) son derivaciones generalizadas a derecha e izquierda, respectivamente, y F(u)v = uG(v) por todo u, v en U, entonces d(U), g(U) son subconjuntos del centralizador C_R (U). Por otra parte se han estudiado distintos elementos de "tipo central" y se han definido varios "centros generalizados", probándose que todos ellos coinciden en el caso de un anillo primo. También se ha considerado la noción de ortogonalidad, ligada a una derivación generalizada a izquierda y una derivación generalizada a derecha y se han encontrado varias condiciones equivalentes a la ortogonalidad. Se han estudiado las consecuencias de la existencia de derivaciones generalizadas ortogonales en la composición de las aplicaciones. Hemos prestado atención a los anillos con una bi-derivación generalizada, viendo que si ésta satisface algunas condiciones algebraicas sobre elementos de un ideal de Jordan J se obtienen consecuencias en la estructura del anillo. En particular, si el anillo R es primo y la bi-derivación no es cero, concluimos que J está contenido en Z(R). Finalmente se han considerado derivaciones multiplicativas generalizadas de anillos semiprimos, estudiando de nuevo condiciones algebraicas que se traducen en propiedades de la multiplicación en el anillo. Resume in English: An important and active research line in Non-Commutative Algebra is the line known as "Commutative Theorems". The final aim in it is to find conditions that guarantee the commutativity of a ring. This thesis can be placed in this area of work and, in a concrete way, conditions studied are related to several types of generalizations of derivations. In this thesis, conditions have been applied to prime or semiprime rings. Several types of generalizations of derivations have been studied, as well as the consequences that their existence have in relation to the commutativity of the ring or in the existence of central ideals, depending on how strong conditions are considered. So the notions of l-generalized and r-generalized reverse derivations have been introduced. These notions extend the one of reverse derivation. In particular, we have proved that the existence of such a map (left generalized or right generalized reverse derivation) in a semiprime ring implies the existence of a non-zero central ideal. Furthermore, if the ring R is 2-torsion free, then the notions of left generalized, right generalized reverse derivations, left generalized and right generalized derivations coincide. We have considered also maps on a semiprime ring that are left or right generalized derivations on a Lie ideal U. In particular we proved that if (F, d) is a left and right generalized derivation and F^2 (U) = (0) then d(U)=F(U)=(0) and d(R), F(R) are contained in the centralizer C_R (U). On the other side, if (F, d) and (G, g) are right and left generalized derivations, respectively, and F(u)v=uG(v) for all u, v in U, then d(U), g(U) are contained in the centralizer C_R (U). On the other side, we have studied different types of center-like elements. The corresponding generalized centers have been defined and they have been proved to be all equal when the ring R is prime. The notion of orthogonality has been considered, linked to a left generalized and a right generalized derivation, finding necessary and sufficient conditions for their existence and some consequences of the existence of the orthogonal generalized derivation on the composition of the maps have been obtained. We have also paid attention to rings having a symmetric generalized biderivation that satisfies some algebraic conditions on elements of a Jordan ideal J. When the considered ring R is prime and the biderivation is non-zero then we can conclude that J is contained in the center of R ( Z(R)). Finally, multiplicative (generalized)-derivations of semiprime rings have been considered. We have studied, also, in this case, some algebraic conditions in order to derive consequences on the multiplication in the ring.