Engel words and verbal width in groups

Abstract

Dado un grupo arbitrario G y una palabra w del grupo libre de rango r, con r un número natural, se puede considerar la aplicación w_G :G^r ----> G, que envía cada tupla (g_1, g_2,...,g_r) a su imagen por la palabra w, w_G(g_1, g_2,...,g_r). Denotaremos la imagen de esta aplicación por w_G(G). El subgrupo verbal de G asociado a w se define como el subgrupo generado por w_G(G). Se dice que la palabra w tiene anchura finita en G si existe algún entero m tal que todo producto de w-valores y sus inversos en G se puede expresar como un producto de a lo sumo m w-valores y sus inversos en G. El menor entero que cumple dicha propiedad se llama anchura de w en G. En el primer capítulo de la tesis consideramos la palabra x^q, donde q=p^r, con p un número primo y r un número natural. Se probó que la anchura verbal de esta palabra sobre los grupos alternados A_n (siempre n mayor o igual que 5), es a lo sumo dos. Posteriormente consideramos palabras de Engel de longitud m, es decir, los elementos del grupo libre de rango 2 dados por E_m(x,y)=[…[x,y],y]…],y]. En el segundo capítulo se prueba que la anchura verbal de E_m(x,y) sobre los grupos alternados es a lo sumo dos, dado que todo elemento de un grupo alternado se puede escribir como producto de dos palabras de Engel de longitud arbitraria. En el capítulo tercero se considera el caso de palabras de Engel de longitud dos. Se probó que todo elemento del grupo alternado se puede escribir como una palabra de Engel de longitud 2. Es decir, el elemento [[x,y],y] del grupo libre de rango dos tiene anchura verbal 1 sobre los grupos alternados. El capítulo cuarto se centra en el problema general, es decir, en estudiar si todo elemento de un grupo alternado simple no abeliano es una palabra de Engel de longitud mayor o igual a 3. Para aproximarnos al problema exploramos un enfoque combinatorio que nos permitiera utilizar una vía computacional. De este modo se pudo probar el resultado para n variando entre 5 y 14 y palabras de Engel de longitud arbitraria, lo que no hubiera sido posible de modo directo, dado el tamaño de los grupos y la no acotación de la longitud de las palabras de Engel. Finalmente, el capítulo quinto está dedicado al estudio del grupo de Nottingham en característica 0, es decir, el grupo de automorfismos normalizados del cuerpo F((t)). En concreto, se quería probar que dicho grupo es verbalmente elíptico, es decir, que toda palabra es elíptica sobre el grupo, o lo que es lo mismo, que tiene anchura finita en el grupo G. Para ello se estudia el concepto de polinomio multilineal fuertemente elíptico en un álgebra y se trabaja con las álgebras graduadas asociadas a dos conocidas filtraciones del grupo de Nottingham.