Mathematical tools for Hesitant Sets. Applications

Abstract

La lógica difusa fue introducida por L.A. Zadeh en 1965 a partir del denominado principio de incompatibilidad: "Conforme la complejidad de un sistema aumenta, nuestra capacidad para ser precisos y construir instrucciones sobre su comportamiento disminuye hasta el umbral más allá del cual, la precisión y el significado son caracterásticas excluyentes". Esta lógica busca proporcionar un marco matemático que permita modelar la incertidumbre que aparece en los procesos cognitivos humanos. En este medio siglo, la lógica difusa ha sido ampliamente estudiada por la comunidad científica, introduciendo extensiones de la definición original de conjunto difuso, tales como interval-valued fuzzy sets, Atanassov's intuitionistic fuzzy sets o type-2 fuzzy sets. En los últimos años, aparece una interesante extensión de la lógica difusa, la llamada hesitant fuzzy logic. En este marco, se han definido distintos tipos de conjuntos, centrándonos en este trabajo en los llamados interval-valued hesitant fuzzy sets. Las propiedades de este tipo de conjuntos permiten generalizar las extensiones de los conjuntos difusos más importantes. Como consecuencia, todos los resultados introducidos para estos conjuntos pueden ser aplicados a otros tipos de conjuntos. En este trabajo, se han estudiado diferentes conceptos para esta clase de conjuntos, comenzando con la definición de algunas relaciones de orden para conjuntos finitamente generados, los cuales son la base de los interval-valued hesitant fuzzy sets. Otras importantes definiciones dadas para estos conjuntos son las de norma y conorma triangulares (t-norma y t-conorma, respectivamente), las cuales se complementan con algunos ejemplos y casos particulares que serán utilizados a lo largo de la investigación. A continuación, y desde un punto de vista axiomático, se proporciona una definición de cardinalidad, y se prueban varias de sus propiedades más importantes. Teniendo en cuenta sus características, se han estudiado algunos casos particulares que nos permiten obtener algunas de las definiciones clásicas de cardinalidad. El siguiente concepto tratado ha sido el de entropía, a través de la cual se mide la incertidumbre asociada a un conjunto. La complejidad de estos conjuntos nos ha llevado a definir dicha entropía como una terna de tres aplicaciones (fuzziness, lack of knowledge y hesitance). Con el objetivo de facilitar su obtención, se han probado varios resultados y caracterizaciones. Finalmente, se han generalizado algunos resultados sobre particionado difuso al caso de interval-valued hesitant fuzzy sets, incluyendo dos definiciones distintas para este tipo de particionado, así como algunas caracterizaciones. Particularizando los resultados alcanzados, ha sido posible obtener algunas definiciones clásicas de particionado para conjuntos difusos, tales como la definición de Ruspini. La segunda parte de este trabajo es el desarrollo de dos aplicaciones de la lógica difusa generalizada a diferentes campos. La primera de ellas se centra en la protección de la privacidad en microdatos. Este tipo de datos se puede encontrar en campos tales como el médico o el económico. El procedimiento habitual es la aplicación de particiones nítidas a los atributos no sensibles para así proteger los atributos sensibles. Entre las diferentes técnicas para medir el nivel de protección proporcionado por una partición, hemos seleccionado tres de las más destacadas (k-anonymity, l-diversity y t-closeness). Nuestra propuesta ha sido utilizar particiones difusas en lugar de particiones nítidas para dar una mejor protección a la tabla liberada. Además, hemos adaptado las técnicas de protección previamente elegidas a esta nueva situación, obteniendo tres nuevas técnicas que nos permiten medir el nivel de protección proporcionado por este nuevo tipo de particiones. Finalmente, hemos llevado a cabo una experimentación para comprobar la bondad de dicho método. La segunda aplicación está relacionada con la detección de bordes en imágenes en escala de grises. El punto de partida ha sido un método de construcción de interval-valued fuzzy relations a partir de una relación difusa. Hemos estudiado la influencia de la variación de los parámetros involucrados en dicho método. Además, se ha introducido un nuevo método incluyendo pesos y un paso de suavizado, realizando además una comparación experimental con el original que nos permite afirmar que la nueva propuesta es una alternativa eficaz.