Análisis de la compacidad de formas poliédricas derivadas de las formas platónicas por truncamiento y biselamiento

Abstract

El trabajo realizado se centra en el estudio de la compacidad de las formas poliédricas o, lo que es lo mismo, en su grado de aproximación a la forma esférica. Para expresar de forma numérica esta característica se define un parámetro k, el cual relaciona la superficie de un poliedro con el volumen por él encerrado. Mediante este criterio se realiza una clasificación de los sólidos platónicos y arquimedianos en función de su compacidad y, a continuación, se considera la metodología de truncar los vértices de un poliedro y biselar sus aristas para obtener nuevas formas poliédricas. La finalidad es analizar la compacidad de los poliedros generados mediante este procedimiento a partir de las formas platónicas. En una primera fase se hallan las funciones que permiten calcular la compacidad de cualquier poliedro obtenido por truncamiento y biselamiento de una forma platónica y a continuación se analizan estas funciones con la finalidad de encontrar cuales son los poliedros de máxima compacidad que se pueden obtener mediante esta metodología. Una vez localizados estos poliedros, un análisis de los mismos ha desvelado que son los únicos, de todos lo que es posible obtener mediante la metodología mencionada, que poseen una sola esfera inscrita, tangente por tanto a todas y cada una de las caras del poliedro de partida. Este resultado significa que los poliedros de mayor compacidad se obtienen cuando los planos de truncamiento y biselamiento son tangentes a la esfera inscrita en el poliedro de partida. Un estudio posterior ha permitido generalizar este resultado y se ha demostrado que es aplicable a cualquier poliedro con esfera inscrita.