Blenders and non-hyperbolic dynamics arising in generic unfoldings of nilpotent singularities

Abstract

A finales del pasado siglo la dinámica uniformemente hiperbólica fue bien entendida al tiempo que algunas conjeturas sobre su abundancia fueron sorprendentemente refutadas. Ya en la década de los setenta se comprendió que la dinámica hiperbólica no constituía un conjunto denso dentro de todas las posibles dinámicas que podían aparecer en familias genéricas de sistemas dinámicos. La obstrucción a esta densidad eran los nuevos comportamientos asociados a ciclos homoclínicos o heteroclínicos conectando diferentes singularidades hiperbólicas. La presencia de atractores extraños no hiperbólicos y persistentes (abundantes en el sentido de la medida) en el despliegue genérico de tangencias homoclínicas fue tal vez uno de los resultados mas relevantes en el campo de los sistemas dinámicos. Resultados posteriores fueron mejorando parcialmente la comprensión de la dinámica no uniformemente hiperbólica y planteando un amplio programa de nuevas conjeturas. Esta tesis es una contribución al estudio de la dinámica no uniformemente hiperbólica. Por una parte estudia la existencia de "blender" simbólicos motivando simultáneamente la investigación de los sistemas iterados de funciones y por otra parte explica la posible presencia de la estructura de blender en los despliegues genéricos de una singularidad nilpotente de codimensión cuatro en R4 La tesis fue planteada como una continuación de una línea de investigación desarrollada en el grupo de Sistemas Dinámicos de la Universidad de Oviedo y encaminada a comprender la complejidad dinámica que puede surgir en el despliegue genérico de la singularidad nilpotente de codimensión cuatro que aparece en el acoplamiento de dos Brusselator: campos cúbicos propuestos en su día como modelo de una reacción química. Como un primer resultado se probó y publicó en la revista Journal of Dynamics and Differential Equations que en tales despliegues aparecen genéricamente ciclos homoclínicos de tipo bifoco. Las aplicaciones de Poincaré asociadas a estos ciclos son difeomorfismos en dimensión tres susceptibles de presentar un a extraordinaria riqueza dinámica: transitividad persistentes, atractores extraños bidimensionales, etc. La aproximación al estudio de esta riqueza motivó el estudio del concepto de "blender" y su adaptación al mundo simbólico en el marco de los difeomorfismos "skew-product", probando la presencia de los denominados "blender" simbólicos bajo hipótesis genéricas de recubrimiento sobre las fibras del "skew-product". A su vez, el estudio de los "blender" simbólicos centró parte de la investigación en el estudio de la dinámica de los sistemas iterados de funciones y en este contexto se probaron por primera vez resultados de descomposición espectral, similares al famoso teorema espectral de Smale que tan necesario y útil resultó en el estudio de la dinámica hiperbólica. Este recorrido ha aportado una mejor comprensión de la dinámica no hiperbólica y plantea nuevas e interesantes cuestiones tanto en el marco general de los sistemas dinámicos como en el caso concreto de los campos vectoriales y, en particular, sobre la riqueza dinámica que cabe esperar en un entorno de un bifoco homoclínico.