Dinámicas discretas sobre una circunferencia

Abstract

Denominamos sistema dinámico a cualquier modelo que describe la evolución temporal, ya sea discreta o continua, de un proceso. El interés último es comprender el comportamiento a largo plazo del sistema, es decir, detectar los observables, los atractores de la dinámica. Genéricamente, existen cuatro tipos de observables: puntos estacionarios, órbitas periódicas, atractores caóticos y movimientos cuasi-periódicos.

Si consideramos flujos sobre un cierto espacio ambiente, la cuasi-periodicidad se puede establecer en términos de existencia de toros invariantes atractores sobre los cuales la dinámica restringida cubre densamente la variedad. En el caso de toros 2-dimensionales con un agujero (genus 1), la dinámica puede reducirse a una aplicación de una circunferencia sobre si misma sin más que considerar apropiadas funciones de retorno. De esta forma, queda motivado el interés que tiene el estudio de las aplicaciones de la circunferencia, ejemplos de sistemas dinámicos discretos.

En primer lugar, formalizaremos el paso de una dinámica sobre un toro a una dinámica sobre una circunferencia. Surgirán conceptos como el de número de rotación que estableceremos y estudiaremos con detalle en el contexto general de difeomorfismos sobre una circunferencia. A continuación, nos ocuparemos del estudio de la aplicación de la circunferencia, introducida por Vladimir Arnold en 1965, a la que nos referiremos, simplemente, como aplicación de Arnold. Exploraremos bifurcaciones y dinámicas en el modelo y veremos cómo los fenómenos de phase-locking dan lugar a la aparición (en el espacio de parámetros) de las conocidas como lenguas de Arnold. Aún hoy en día, la aplicación de Arnold sigue siendo, de una forma o de otra, ingrediente fundamental de muchas investigaciones. Nos gustaría poder dar el salto a dinámica discreta 2-dimensional y estudiar la aplicación de Chirikov, estrechamente relacionada con la aplicación de Arnold, pero esto se nos antoja muy ambicioso ... ya veremos.