Subclases de matrices signo-regulares: propiedades y métodos numérico adaptados

Abstract

En los últimos años ha habido grandes avances en la obtención de métodos numéricos adaptados a distintas clases de matrices estructuradas. Una clase de matrices estructuradas muy importante en las aplicaciones es la de las signo regulares (SR), formada por matrices que verifican que todos los menores del mismo orden tienen el mismo signo. El interés de las matrices no singulares SR proviene de su caracterización como aplicaciones lineales que disminuyen la variación de signo en las componentes consecutivas del vector, de gran importancia en distintas aplicaciones en matemáticas, estadística, economía o diseño geométrico asistido por ordenador, entre otras. Una subclase destacada de matrices SR la constituyen las denominadas matrices totalmente positivas (TP), esto es, matrices con todos los menores no negativos. El objetivo de esta memoria es el estudio de una subclase de las matrices SR, que son las matrices casi estrictamente signo regulares (ASSR). Estas matrices son matrices estructuradas que verifican que todos sus menores no triviales del mismo orden tienen el mismo signo y son una generalización de las matrices definidas en 1992 por Gasca, Miccheli y Peña llamadas matrices casi estrictamente totalmente positivas (ASTP), que son aquellas matrices TP que cumplen que todos los menores formados por filas y columnas consecutivas son positivos si y solo si los elementos de su diagonal principal son no nulos. Importantes ejemplos de matrices ASTP no singulares son las matrices de Hurwitz y las matrices de colocación de los B-splines. Es importante observar que, en general, los problemas relacionados con las matrices ASSR son considerablemente más complejos que cuando las matrices son ASTP. Los resultados que se presentan en esta memoria contienen distintas caracterizaciones de las matrices ASSR, basadas en la eliminación de Neville (NE) de la matriz, o en las factorizaciones LDU y QR de la misma. La NE es un método alternativo a la eliminación de Gauss que se ha mostrado especialmente eficiente cuando se trabaja con matrices SR y sus subclases. Además, la NE ha sido una herramienta clave en la obtención de algoritmos con alta precisión relativa para ciertas subclases de matrices totalmente positivas Por otro lado, en 2007 se introdujo una estrategia de pivotaje para la NE cuando se aplica a matrices no singulares SR, llamada dos-determinantal. Teniendo en cuenta tal estrategia, otro de los objetivos de la presente memoria es abordar el estudio de la estabilidad backward (regresiva) del procedimiento cuando se aplica a matrices ASSR. Pasamos a resumir algunos de los resultados de la memoria y los principales logros de la misma. El primer objetivo que se resuelve en la memoria es la caracterización de las matrices ASSR utilizando los pivotes de la NE. Además, se prueba que el coste computacional asociado a la caracterización obtenida puede verse reducido para ciertos tipos de matrices, como son las matrices casi estrictamente totalmente negativas o las M-bandeadas. También se estudia cómo debe ser la factorización LDU de una matriz ASSR. Otro resultado importante en relación con factorizaciones matriciales es la caracterización de las matrices ASSR a partir de la factorización QR de una familia de sus submatrices. Finalmente, se realiza un estudio sobre la aplicación de la NE, con estrategia de pivotaje dos-determinal, a matrices ASSR, comprobando que la casi estrictamente signo regularidad se conserva cuando se considera la NE con esta estrategia de pivotaje, algo que no ocurre si no se realizan cambios de filas. Por último, los resultados alcanzados permiten afirmar que el factor de crecimiento asociado a la estrategia de pivotaje estudiada es óptimo, así como llevar a cabo un completo análisis de error backward cuando se trabaja con aritmética de precisión sobre matrices ASSR. La mayoría de los resultados presentados en esta memoria ya han conseguido