Integrabilidad, retratos de fases y ciclos límite en campos polinomiales planos

Abstract

En esta memoria se han efectuado aportaciones originales en diversas cuestiones relativas al estudio cualitativo de las ecuaciones diferenciales y, mas concretamente, al de los campos polinomiales en el plano. Uno de los aspectos básicos en el estudio de los campos polinomiales es su integrabilidad, pues la existencia de una integral primera permite determinar las trayectorias del campo. En este contexto, en la memoria se ha conseguido cerrar un antiguo problema abierto, el de la clasificación de los campos cuadráticos que poseen integral primera polinomial. El problema de la integrabilidad algebraica de sistemas polinomiales ya fue planteado por Poincaré a finales del siglo XIX y permanecía abierto incluso en este caso cuadrático pese a la profusa investigación llevada a cabo en los últimos tiempos relativa a este tipo de campos. La clasificación se ha realizado efectuando en primer lugar una reducción de los parámetros y aplicando posteriormente técnicas de factorización y divisibilidad polinomial que permiten simplificar y resolver las ecuaciones diferenciales recurrentes asociadas a la existencia de integral primera polinomial. Una vez realizada esta clasificación, se han determinado los retratos de fases de los campos obtenidos, lo que ha permitido demostrar que todos los campos cuadráticos con integral primera polinomial son topológicamente equivalentes a alguno Hamiltoniano. Puesto que también se ha comprobado la validez de esta propiedad para los campos lineales, los resultados obtenidos permiten plantear como problema abierto la extensión a grado n arbitrario de esa equivalencia topológica. Por otra parte, un problema de gran interés en el estudio de los campos polinomiales es determinar el número máximo de sus ciclos límite en función del grado del campo (problema 16 de Hilbert), cuestión que dista mucho de su resolución definitiva. De cara a la obtención de resultados parciales acerca de ese problema, una de las vías (...)